Grundlagen der Psychrometrie

Das ideale Psychrometer

Um die Beziehung zwischen dieser Temperatur des feuchten Thermometers und der Luftfeuchtigkeit zu ermitteln, geht man von der Wärmehaushaltsgleichung

Q + B + L + V = 0                                                                                                                       (1)

einer feuchten Oberfläche aus. Sind nun die Strahlungsbilanz Q und der Wärmestrom aus dem Körperin- neren B verschwindend klein, so vereinfacht sich Gl. (1) zu

 

L + V = 0                                                                                                                                   (2)

Ein feuchtes Thermometer, dessen Wärmehaushalt Q + B nicht enthält, bei dem also die zur Verduns- tung nötige Wärme V nur vom Strom fühlbarer Wärme L aus der Luft geliefert wird, heißt ein ideales Feuchtthermometer, seine Kombination mit einem Thermometer zur Messung der Lufttemperatur ein ideales Psychrometer. In diesem Fall werden die Verhältnisse besonders einfach. Setzt man (siehe Auf- gabe 2)

L = -aL·(J' - JL)                                                                                                                           (3)

und (siehe Aufgabe 4)

 

 

 

L

 
V = - 0.623 × r × a

p × cp(E' - eL )

 

(4)

 

so folgt aus GL. (2) mit Gl. (3) und Gl. (4)

-  aL

 

bzw.


  • (J' - JL
0.623 × r × a

 

L

 
p × cp(E' -eL ) = 0

 (5)

 

eL = E' -

p × cp 0.623 × r(JL- J')(6)

 

Diese Gleichung des idealen Psychrometers erlaubt also, aus der Temperatur des trockenen Thermome- ters JL und der Temperatur des feuchten Thermometers J' zusammen mit deren Sättigungsdampfdruck E' den Dampfdruck der Luft eL zu berechnen.

Der Koeffizient p·cp/(0.623·r) hängt vom Luftdruck p und über die Verdunstungswärme r sowie die spezifi- sche Wärme der Luft bei konstantem Druck cp etwas (wenn auch ganz wenig) von der Temperatur ab, über cp sogar etwas von der Feuchte.

Der Koeffizient p·cp/(0.623·r) erhält den Wert 0.667 hPa·K-1 wenn man mit den folgenden Werten rechnet.

 

p = 1006.6 hPa (= 755 Torr)

cp =  1.012 kWs·kg-1·K-1  (20 °C, 7 g Wasser pro kg Luft) = 50 % rel. Feuchte r        = 2452 kWs·kg-1 (Wasser, 20 °C)

Es ist üblich diesen Koeffizienten für den Druck von p = 1006.6 hPa unabhängig von der Temperatur und Feuchte gleich 0.667 hPa·K-1 zu setzen. Die Druckkorrektur wird durch den Faktor p/1006.6 berücksich- tigt. Die Psychrometergleichung (6) kann dann als Zahlenwertgleichung in der Form

 

 oder

= E' -0.663 ×p 1000
  • (JL
- J')

(7)

 

eL = E' - 0.663·10-3·p·(JL - J')                                                                                                        (8)

geschrieben werden. Die Gleichungen (7) und (8) heißen Sprungsche Psychrometerformeln. Sie ergeben eL in der Druckeinheit, in der E' und p angegeben werden. JL und J' werden in °C eingesetzt. Diese Glei- chungen liegen den älteren Psychrometertabellen zugrunde, aus denen man mit JL und J' als Eingang direkt eL und die relative Feuchte f = eL/EL ablesen kann.

 

Die neuen offiziellen Psychrometertabellen, die vom Deutschen Wetterdienst für den Gebrauch in der Meteorologie und angrenzenden Fachdisziplinen herausgegeben werden (1976), berücksichtigen zusätz- lich die individuellen Feuchteverhältnisse. Der neue Psychrometerkoeffizient 0.663·10-3 wird ersetzt durch eine empirische von der Temperatur des feuchten Thermometers J' abhängige Näherungsfunktion: 0.66·10-3(1+0.00115·J'). Diese Psychrometergleichung

eL = E' - 0.66·10-3·(1 + 0.00115·J')·p·(JL - J')                                                                                (9)

liegt, gerechnet für den Druck p = 1013.246 hPa, in tabellierter Form vor.

Für den Fall, dass am feuchten Thermometer nicht Wasser sondern Eis auftritt ist der Psychrometerkoef- fizient wegen der verschiedenen Verdampfungswärme r = 2524 kWs·kg-1 (Eis, -10 °C) und wegen der verschiedenen Wärmekapazität cp = 1.004 kWs·kg-1·K-1 (-10 °C, 2g Wasser pro kg Luft) kleiner als der bei Wasser. Die Psychrometergleichung bei Eisansatz lautet dann

eE = EE' - 0.6387·10-3·p·(JL - J')                                                                                                 (10)

Mit der Gleichung (8a) und dem Druck p = 1006.6 hPa sind die älteren Psychrometertafeln berechnet. Ab 1976 werden die Tafelwerte für Eisansatz aus Gründen der Vereinheitlichung weltweit (WMO Technical Regulations) nach der folgenden Gleichung für den Druck p = 1013.246 hPa berechnet.

 

eE = EE' - 0.5820·10-3·p·(JL - J')                                                                                                 (11)

Natürlich wird in den Gleichungen (10) und (11) der Sättigungsdampfdruck EE' für Eis (siehe Aufgabe 5) eingesetzt.

 

Die Feuchttemperatur

 

Mit Hilfe der Gleichung (6) des idealen Psychrometers bzw. der Sprungschen Formel ist umgekehrt durch eL und JL (abgesehen von p) die Temperatur J' bestimmt. Man kann sie gleichsam vom Messverfahren lösen und als eine von Lufttemperatur und Luftfeuchte abhängige charakteristische Größe ansehen, die man die (ideale) Feuchttemperatur Ji' nennt. Sie ist jene Temperatur, die eine von der Strahlung und der Wärmeleitung durch das Wasser (Q+B) freie Wasseroberfläche annimmt (Verdunstungskühlung). Einige charakteristische Werte zeigt folgende Tabelle (für p=1000 hPa).

 

f

J =

-30.0

-15.0

0.0

15.0

30.0

°C

100 %

J' =

-30.0

-15.0

0.0

15.0

30.0

°C

0 %

J' =

-30.7

-17.4

-5.9

3.3

10.6

°C

 

DJ' =

0.7

2.4

5.9

11.7

19.4

K

Die psychrometrische Temperaturdifferenz DJ' wird mit abnehmender Temperatur immer kleiner, was zur Folge hat, daß die psychrometrische Feuchtemessung bei gleichbleibender Temperaturmessgenauigkeit bei tiefen Temperaturen immer ungenauer wird.

 

Das reale Psychrometer

 

 Die obige Voraussetzung Q + B = 0, welche zur Gleichung des idealen Psychrometers (Gleichung (6)) und vor allem auch dazu führt, dass diese den Wärmeübergangskoeffizienten aL, also die Ventilation, nicht enthält, lässt sich praktisch nicht vollständig realisieren. Um eine Gleichung des realen Psychrome- ters zu gewinnen, muss man also auf die vollständige Wärmehaushaltsgleichung der feuchten Oberfläche (Gl. (1)) zurückgehen. In dieser ist Q die Strahlungsbilanz der Oberfläche. Von kurzwelliger Strahlung (Sonne) sei abgesehen, da diese jede Temperaturmessung unbrauchbar macht und ausgeschaltet wer- den muss. Es verbleibt dann die langwellige Strahlung der Umgebung. Für sie sei angenommen, dass sie von praktisch schwarzen Körpern (v.a. Wände) mit Lufttemperatur JL herrührt. Auch das feuchte Ther- mometer soll näherungsweise als schwarzer Körper angesehen werden. Dann ist (Stefan- Boltzmannsches Gesetz)

 

L                                L               L            S             L

 
Q = s·T 4 - s·T'4 = -4·s·T 3·(T' - T ) = - a ·(J' - J ).                                                                      (12)

aS ist der Strahlungsübergangskoeffizient, deren Werte um 6 W·m-2·K-1 liegen und in Aufgabe 1 näher angegeben sind. Eine ähnliche Gesetzmäßigkeit ergibt sich für B, wenn man annimmt, dass die durch den Thermometerschaft zur feuchten Oberfläche kommende Wärme vor allem aus dem Hauptteil des Thermometers kommt, der Lufttemperatur hat. Dann ist

B = -b·(J' - JL),                                                                                                                      (13)

wobei der Wärmedurchgangskoeffizient b die Güte dieser Wärmeleitung kennzeichnet. Für L und V gel- ten die obigen Gleichungen (3) und (4). Für die in ihnen enthaltenen Wärmeübergangskoeffizienten aL ist ein ähnliches Potenzgesetz anzunehmen, wie es bei den Aufgaben 2 und 4 für die dort auftretenden Messfühler angegeben wurde. Bei v = 2 m·s-1 kann man für aL Werte um 70 W·m-2·K-1 erwarten.

Mit den Gleichungen (3), (4), (12) und (13) führt die Wärmehaushaltsgleichung (1) zu

 

 

-  aS


  • (J' - JL

)- b × (J' - JL


)- aL


  • (J' - JL

)- 0.623 × r × a

 

L

 
p × cp
  • (E' - eL
) = 0

(14)

 

aS + b 

 
und damit zur Gleichung des realen Psychrometers

 eL = E' -

p × cp
  • 1 +
 × (JL - J')

(15)

 

 

0.623 × r 


aL 

 

Von der Gleichung (6) des idealen Psychrometers unterscheidet sich die Gl. (15) durch den Faktor (1 + (aS + ß)/aL), der die durch die Gleichungen (12) und (13) ausgedrückten Einflüsse von Q und B beinhal- tet. Im Gegensatz zu Gl. (6) enthält Gl. (15) aL, d.h. den Einfluss der Ventilation. Je stärker die Ventilation ist, umso mehr nähert sich das reale Psychrometer dem idealen, umso weniger fallen die Terme Q und B gegenüber L und V ins Gewicht. Die bei Windgeschwindigkeiten um 2 m·s-1 verbleibende Abweichung der Gleichung des realen Psychrometers von der des idealen nach Gl. (6) oder von den Sprungschen Formeln (7) bis (11) - z.B. erhält man mit b = 0 und den obigen Werten von aS und aL für den Klammer- ausdruck 1.09 - wird weitgehend dadurch kompensiert, dass, wie eine genauere Ableitung zeigt, wegen der unterschiedlichen molekularen Transportkoeffizienten für Wärme und Wasserdampf noch ein Faktor hinzutritt, der etwas kleiner als 1 ist. Man kann daher auch für das reale Psychrometer die Gleichung des idealen verwenden, sofern die Windgeschwindigkeit über 2 m·s-1 liegt. Bei v = 0.5 .. 1 m·s-1 erhält man mit 1.2 für den Klammerausdruck in Gl. (15), bei Luftruhe mit 1.8 einigermaßen brauchbare Werte von eL.

  

Die Äquivalenttemperatur

 

 In der Energiebilanzgleichung (1) stehen die aus der Luft zur Oberfläche fließenden Wärmestrom L und V den durch andere Transportvorgänge (Strahlung, Wärmeleitung durch Festkörper) bewirkten Energie- strömen Q und B gegenüber. Fasst man L und V zusammen

 

L + V = -aL


  • (J' - JL

) - 0.623 × r × a

 

L

 
p × cp
  • (E' - eL )

 

 

 

= -a


×  J'+ 0.623× r × E '  - J


0.623× r× e 

 

L                           


L                                           L 


(16)

 

        p × cp                                 p × cp                      

                                                    

so erhält man eine der Gleichung (3) für L ähnliche Form. An die Stelle von JL ist hier

 

 

JäL


 

= JL


0.623 ×r × e p × cp


 

(17)

 

 

L

 
getreten und an die Stelle von J' der analoge Ausdruck mit den für die feuchte Oberfläche geltenden Werten J', E' anstatt der für die Luft geltenden JL, eL. Die durch Gl. (17) definierte "Temperatur" hat in der Meteorologie eine eigenständige Bedeutung. Sie heißt die Äquivalenttemperatur, ihre Abweichung von JL der Äquivalentzuschlag.

Die Äquivalenttemperatur JäL kennzeichnet den Gesamtwärmeinhalt der Luft an fühlbarer und latenter Wärme ebenso wie die Lufttemperatur JL ihren Gehalt an fühlbarer Wärme. Dieser Gehalt an fühlbarer Wärme je Masseneinheit der Luft iL ist - abgesehen vom willkürlichen Nullpunkt - durch

iL = cp·JL                                                                                                                                (18)

gegeben. Der Gehalt an latenter Wärme iV ist nichts anderes als das Produkt aus dem Wasserdampfge- halt der Masseneinheit der Luft, der spezifischen Feuchte sL = 0.623·eL/p, und der latent im Wasserdampf enthaltenen Verdunstungswärme r.

 

iV = r × sL


0.623 ×r × e

p         L


 

(19)

 

 

Der Gesamtwärmeinhalt i = iL + iV ist also

 

 

i = cp × JL +


0.623 × r

p


 
eL = cp × JL +

623 × r

p × cp


 
eL  = cp × JäL

(20)

 

was der obigen Aussage entspricht. Man kann auch sagen, dass die Äquivalenttemperatur jene Tempe- ratur ist, die die Luft annehmen würde, wenn man den ganzen in ihr enthaltenen Wasserdampf konden- sieren und die freiwerdende Wärme der Luft zuführen würde.

Der zu einer feuchten Oberfläche fließende Gesamtstrom fühlbarer und latenter Wärme kann somit durch L + V = -aL(Jä' - JäL)                                                                                                                                      (21)

beschrieben werden. Beim idealen Feuchtthermometer folgt aus L + V = 0 unabhängig von JL

Jä' = JäL.                                                                                                                              (22)

Das ideale Feuchtthermometer ist also dadurch gekennzeichnet, dass die Äquivalenttemperatur seiner feuchten Oberfläche Jä' gleich der der Luft JäL' ist. Jä ist aber praktisch (p = const) eine eindeutige

 

Funktion der Temperatur des feuchten Thermometers, d.h. beim idealen Feuchtthermometer eine eindeu- tige Funktion der (idealen) Feuchttemperatur Ji'. Für p = 1013.2 hPa findet man

 

 

J'= Ji' :

-10

0

10

20

30

°C

0.623·r/(p·cp) :

1.54

1.52

1.51

1.49

1.45

K·hPa-1

Jä'= JäL :

-5.6

9.3

28.5

54.7

91.4

°C

Der enge Zusammenhang zwischen JäL und J' erlaubt es, Feuchtthermometer direkt mit einer Äquiva- lenttemperatur-Skala zu versehen. Die obige Tabelle lässt ferner erkennen, dass mit zunehmender Tem- peratur der von der latenten Wärme herrührende Anteil, der Äquivalentzuschlag, rasch an Gewicht ge- winnt. Umgekehrt ist er bei tiefen Temperaturen klein, was ein anderer Hinweis darauf ist, dass das Psychrometer bei tiefen Temperaturen Werte geringerer Genauigkeit liefert. Setzt man in die obige Gl.

(22) die Ausdrücke Jä' und JäL nach Gl. (17) ein, so ergibt sich direkt die Gleichung (6) des idealen Psychrometers.

 

 

Die Psychrometerformen

 

Die einfachste und älteste Form des Psychrometers ist das Psychrometer nach August. Es besteht ledig- lich aus einem trockenen und einem feuchten Thermometer. Im Freien kann es daher nur bei genügen- dem Strahlungsschutz verwendet werden. Da es nur der natürlichen Ventilation ausgesetzt ist, gilt die Gleichung des realen Psychrometers (Gl. (15)). Eine wesentliche Verbesserung stellt das Hüttenpsych- rometer dar, bei dem das Feuchtthermometer durch einen Aspirator künstlich belüftet wird. Das trockene Thermometer wird nicht künstlich belüftet, doch ist hier möglicherweise eine Änderung zu erwarten. Künstlich belüftet ist auch das Schleuderpsychrometer nach Schubert, welches durch kleine Schirme teilweise auch gegen die Strahlung geschützt ist und bei geringeren Genauigkeitsansprüchen im Freien verwendet werden kann.

Die verlässlichsten Messwerte liefert aber das Aspirationspsychrometer nach Aßmann. Bei ihm werden beide Thermometer durch einen gemeinsamen Aspirator künstlich belüftet. Die schlanke Form der Ther- mometer setzt die Wärmeleitung aus dem Schaft (b) stark herab. Auch aS ist verkleinert, da jedes der beiden Thermometer durch zwei ineinandergesteckte zylindrische Hüllen nicht nur weitgehend gegen die direkte Strahlung von außen geschützt ist, sondern durch die Hochglanzverchromung auch der langwelli- ge Strahlungsaustausch nach Gl. (12) stark reduziert ist. Der Strahlungsschutz zusammen mit der künst- lichen Ventilation bewirkt, dass die an den beiden Thermometern abgelesenen Werte weitgehend von Fehlern frei sind und so eine sehr gute Basis für die Bestimmung der Lufttemperatur JL und der Feucht- temperatur J' sind, aus denen man mit Hilfe der Sprungschen Formel (10) oder (11) oder der aus ihr er- rechneten Psychrometertafel eL bzw. andere Feuchtegrößen ermitteln kann. Neben der üblichen großen Ausführung des Aßmann-Psychrometers gibt es noch eine kleinere, die überall dort erwünscht ist, wo man Gewicht sparen will. Das kleine Aßmann-Psychrometer ist aber störanfälliger und schon in der Able- sung ungenauer, so daß man Vor- und Nachteile wohl abwägen soll. Das gilt in noch stärkerem Maße beim Schleuderpsychrometer. Neben den üblichen Ausführungen des großen Aßmann-Psychrometers mit Federwerkaspiration gibt es solche mit elektrischem Antrieb, was bei fortlaufenden Ablesungen zweckmäßig ist. In diesem Fall kann dem Strumpf auch das Wasser dauernd durch einen Docht aus ei- nem Vorratsgefäß nachgeführt werden. Die Art der Zuführung ist wegen des gleichzeitigen Wärmetrans- ports (B) aber gut zu überlegen. Schließlich können anstelle der Flüssigkeitsthermometer vor allem bei Registriergeräten elektrische Thermometer (Aufgaben 10 und 11) Verwendung finden. Wegen der großen Wärmeübergangskoeffizienten (aL) und der schlechten Wärmeleitung (b) dünner Drähte genügen ent- sprechende Konstruktionen bei geringer ja sogar bei fehlender künstlicher Belüftung schon gut der Glei- chung des idealen Psychrometers.

 

Die Psychrometertafeln u.ä.

 

Um die Anwendung der Sprungschen Formel zu erleichtern, hat man die ihr entsprechenden Werte tabel- liert. Die Psychrometertafeln haben als Eingänge in der Vertikalen die Lufttemperatur JL, in der Horizon- talen die Feuchttemperatur J'. Sie geben den Dampfdruck eL in hPa (mbar) und die relative Feuchtigkeit in % an. In älteren Psychrometertabellen wird der Dampfdruck eL oft noch in Torr angegeben. Die Einheit Torr ist ebenso wie das mbar nicht mehr erlaubt und muss in Pa oder hPa umgerechnet werden. (1 Torr

= 1.3332 mbar = 1.3332 hPa). Die Werte gelten für p0 = 1006.6 hPa. Für einen anderen Luftdruck ergibt sich als Korrektur

 

De   = e    - e

= 0.667 × 1-          p      × (J J')

L        Lp

L1006.6

                    L

     1006.6 


(23)

 

wo sich eL in hPa ergibt, wenn man p in hPa einsetzt. JL und J' wird in °C eingesetzt. Für den mittleren Luftdruck von München p = 955 hPa erhält man für jedes K der Psychrometerdifferenz DeL = +0.033 hPa. Wenn man eL auf 0.1 hPa genau ermitteln will, wird man die Korrektur meist berücksichtigen müssen. Sie ist für eL und f im Anhang der Psychrometertafeln tabelliert. Im Zeitalter der Mikroelektronik kommt man schneller zum Ziel, wenn man sowohl EL und E' (nach der Magnus-Formel) als auch eL mit einem Ta- schenrechner berechnet. Komfortabel wird die Berechnung der Feuchtegrößen wenn man einen pro- grammierbaren Taschenrechner oder einen sog. Feuchterechner (Taschenrechner mit fest einprogram- mierten Feuchtemeßprogramm) benutzt.

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